Koordinattransformationer

Plana Tredimensionella SWEREF 99 (WGS 84) <-> RT 90 Lokala samband Jordmodellen Program

Begreppet koordinattransformation kan användas allmänt för alla funktioner där man från givna punktkoordinater i ett koordinatsystem (från-systemet) får en ny uppsättning koordinater i ett annat koordinatsystem (till-systemet).

Man brukar dock skilja mellan definitionsmässiga transformationssamband, som vi brukar kalla överräkningar och empiriska samband, som vi brukar kalla inpassningsformler.

EXEMPEL PÅ ÖVERRÄKNINGAR ELLER KOORDINATOMVANDLINGAR


  • Kartprojektion 

    Exempel: från lat long i RT 90 till RT 90 2.5 gon V 0:-15

  • Byte av kartprojektion , d.v.s en omvänd projektion följd av en ny projektion

    + ev. tillägg/avdrag
    Exempel: från RT 90 0 gon 0:0 till RT 90 2.5 gon V 0:-15

  • Omvandling mellan 3-dimensionella cartesiska och geodetiska
  • Andra omvandlingar , som t.ex. byte av sortenheter.

På engelska används ofta termen 'conversion' i detta sammanhang.

   För detaljer om hur överräkningar utförs numeriskt, hänvisas till: HMK - Geodesi, GPS

PLANA INPASSNINGSFORMLER


HELMERTTRANSFORMATION


Vid överräkning mellan olika medelmeridianer har vi ett definitionsmässigt samband mellan systemen. En annan situation uppstår när vi har punkter givna i två system utan något i förväg känt samband mellan systemen. För att transformera koordinater från det ena systemet till det andra behöver vi bestämma sambandet med en s.k. inpassning.

Den typ av transformation som man vanligen bestämmer med inpassning är en s.k. Helmerttransformation. Denna kan beskrivas som en x- resp en y-translation, d.v.s. en parallellförflyttning av alla punkter, plus en vridning av systemet, plus en skalförändring, d.v.s. en förstoring eller förminskning. Detta innebär att formen på figurer i planet ej förändras vid en Helmert.

Figuren nedan ger en uppfattning om hur sambandet i princip kan se ut .

 

INPASSNING
Med inpassning menas att bestämma en transformationsformel, på grundval av att ett antal punkter, (passpunkter), har kända koordinater i bägge systemen.

För att entydigt bestämma en Helmert-transformation krävs minst 2 passpunkter, man vill dock helst ha flera gemensamma punkter som bättre täcker det område där man ska transformera. Man får då en s.k. överbestämning av sambandet, denna löses med hjälp av minstakvadrat-metoden, som även ger en uppskattning av grundmedelfelet för transformerade koordinater. I praktiken har man nämligen alltid motsättningar mellan de givna punkternas koordinater, och man får ej ett entydigt och felfritt samband mellan systemen.

MATRISFORM
Ofta anges en Helmerttransformation i matrisform i stället. Vi har då 4 transformations-parametrar, x0 , y0 , a , b och transformerar enligt formeln :

xtill  =  x0 + a * xfrån - b * yfrån

ytill  =  y0 + b * xfrån + a * yfrån



ALLMÄN AFFIN TRANSFORMATION


Affina transformationer har gradtalet 1 och karaktäriseras av grundvillkoren:
  • rät linje avbildas på rät linje.
  • parallella linjer avbildas på parallella linjer.
  • delningsförhållandet är oförändrat .
Analytiskt framställs affina transformationer som:

xtill  =  x0 + a1 * xfrån + a2 * yfrån

ytill  =  y0 + a3 * xfrån + a4 * yfrån


Allmänt har man 6 obekanta parametrar som ska bestämmas, x0 , y0 , a1 , a2 , a3 , a4.
Detta brukar vanligen avses när man använder beteckningen affin. Denna typ av transformation kan användas när olika skala i x- och y-led kan uppträda, t.ex. vid digitalisering från papperskartor som har krympt mer i en av riktningarna.

Andra alternativ som karaktäriseras av särskilda bivillkor på parametrarna är:

HELMERT, enligt ovan med 4 fria parametrar.

UNITÄR
För UNITÄR gäller samma villkor som för HELMERT, utom att skalan är oförändrad ( = 1). Detta innebär att man har 3 obekanta. Unitär transformation har samma tillämpning som Helmert, när man har villkoret att beräknade ytor och längder ska bli oförändrade.



TREDIMENSIONELLA INPASSNINGSFORMLER


TREDIMENSIONELL LIKFORMIGHETS-TRANSFORMATION (7-PARAMETER, BURSA WOLF)


Denna typ av transformation används i samband med cartesiska 3-dimensionella system, som vanligen är inplacerade geocentriskt (eller nära geocentriskt), d.v.s. origo sammanfaller med jordens fysiska tyngdpunkt, se även om jordmodellen

Tredimensionella inpassningsformler beräknas ur empiriska data på motsvarande sätt som vid plana inpassningar, men med 3 koordinater (X, Y, Z) givna för varje passpunkt i från- och tillsystemet.


En likformighetstransformation definieras av:
  • 3 translationer längs resp. axel: , ,
  • 3 rotationer runt resp. koordinataxel: , ,
  • en skalförändring, som vanligen uttrycks som en skalkorrektion i ppm:

Transformationen kallas därför även för 7-parameter-transformation eller 3-dimensionell Helmert.

I matrisform blir uppställningen:

Där R är rotationsmatrisen enligt:

Den strikta inversen till samma formel ställs upp enligt:

Där R-1 är den inversa matrisen till R. För rotationsmatriser gäller att R-1 =  RT, d v s inversen är lika med transponatet till den fullständiga rotationsmatrisen R. (Transponatet av en matris erhålls genom att kasta om rader och kolumner i matrisen.)

Observera att 7-parameterformeln kan ställas upp på lite olika sätt, när det gäller ordningen på operationerna och hur tecken på vridningar och skalfaktor ska tolkas. Därför bör man vid inläggning av parametrar i ett program alltid försäkra sig om att programmet tillämpar samma konventioner som det program som använts för skattningen av parametrarna.

Som ett minimum bör man verifiera inläggningen med hjälp av en kontrollpunkt med kända från- respektive transformerade koordinater. Se även nedan.


OMRÄKNING AV PARAMETRAR

Parametrarna i 7-parameterformeln kan omvandlas för att passa ett program med en annan tolkning av formeluppställningen. För mer information, kontakta nedanstående adress:

Bo-Gunnar Reit
Lantmäteriverket 801 82 Gävle
Tfn växel: 026 - 63 30 00 Tfn direkt: 026 - 63 37 35
E-post: [email protected]


Webmaster
Copyright© Lantmäteriverket