Lantm�teriet - Kartprojektioner

Illustrationer fr�n
I. Ussisoo, Kartprojektioner

F�r kartframst�llning och en del andra tekniska till�mpningar �r det mest praktiskt att ange punkters l�gen i ett plant koordinatsystem. Med kartprojektion avbildas referensellipsoiden eller del d�rav p� en plan yta. Valet av projektion styrs av begr�nsning av projektionsfelen och att projektionskorrektionerna �r l�tta att ber�kna.

De flesta svenska kartor �r gjorda i Gauss-Kr�gers projektion. Den projektionen �r vinkelriktig och avbildar den valda medelmeridianen l�ngdriktig. De svenska kartornas r�tvinkliga system eller rutn�t brukar �ven kallas 'Rikets n�t', se introduktion till kartornas rutn�t.

1		Kartprojektionens grunder....................................
	1.1	Jordmodellen..............................................................
	1.2	Konstruktion................................................................
	1.3	Perspektivisk avbildning...........................................
	1.4	Avbildningsfunktion...................................................
	1.5	Viktiga egenskaper...................................................
	1.6	Tissots indikatris.......................................................
	1.7	Projektionsparametrar..............................................
2		�versikt �ver kartprojektioner............................
3		Rikets kartprojektion.............................................
	3.1	Bladindelning.............................................................
4		Generalstabskartan................................................
5		UTM, Universal Transverse Mercator......................
6		V�rldskartor..............................................................

Referenser:
HMK - Geodesi, GPS. Lantm�teriet 1996.
Ussisoo I: Kartprojektioner. Lantm�teriverket, Tekniska skrifter 1977/6, G�vle 1977.
Snyder J P: Map Projections - A Working Manual. USGS Professional Paper 1395, USA 1987.

1 Kartprojektionens grunder

1.1 JORDMODELLEN

Avbildningen av jordellipsoiden (eller sf�ren) p� ett plan, kan ej ske utan deformation. Med en l�mpligt vald projektion kan man d�remot h�lla formf�r�ndringarna inom vissa gr�nser, inom det geografiska till�mpningsomr�de man valt.

F�r mycket sm�skaliga kartor, t.ex. v�rldskartor anv�nder man en sf�risk jordmodell, p� grund av att det ger enklare ber�kningar. Det blir i dessa fall en avbildning som inte blir lika noggrann som en d�r man anv�nt ellipsoidisk jordmodell. Eftersom felen �r ganska sm� och noggrannheten �nd� inte �r s�rskilt h�g i v�rldskartor kan felen f�rsummas.

F�r storskalig kartl�ggning, t.ex. topografiska kartor, anv�nds alltid ellipsoidisk jordmodell, vilket leder till n�got kr�ngligare formler, d�r serieutvecklingar m�ste anv�ndas.

1.2 KONSTRUKTION

Metoden f�r att konstruera kartprojektionen kan h�nf�ras till tre huvudtyper vad g�ller

formen p� projektionsytan: cylindrisk, konisk eller azimutal
orienteringen av projektionsytan: normal, transversal eller snedaxlig.

Cylindrisk projektion
Denna kan ses som att en cylinder tangerar ekvatorn (normal typ)	eller l�ngs en medelmeridian (transversal typ)

�ven snedaxlig typ med annan orientering av cylindern f�rekommer.

Konisk projektion

En kon tangerar jordklotet, oftast l�ngs en parallellcirkel (normal typ)

Azimutal projektion

Ett plan som tangerar jordklotet i en punkt. Normal typ, n�r tangeringspunkten �r en av polerna, kallas oftast pol�r aspekt. Transversal typ om tangeringspunkten ligger p� ekvatorn, kallas oftast ekvatoriell aspekt. �ven snedaxlig typ anv�nds.

1.3 PERSPEKTIVISK AVBILDNING

En perspektivisk projektion kan konstrueras rent geometriskt. R�ta linjer, projektionsstr�lar, utg�r fr�n en punkt, projektionscentrum , genom de punkter p� klotytan som avbildas, och f�rl�ngs tills de sk�r projektionsytan i punkternas avbild.

Som exempel har vi den Gnomoniska projektionen, en azimutal projektion d�r projektionscentrum �r jordklotets medelpunkt, Stereografisk projektion, d�r projektions-centrum �r tangeringspunktens antipod, och Ortografisk projektion, d�r projektionscentrum �r placerat p� o�ndligt avst�nd, d.v.s. projektionsstr�larna �r parallella. Projektionerna �terges i nordpolsaspekt nedan.

Gnomonisk projektion Stereografisk projektion Ortografisk projektion

1.4 AVBILDNINGSFUNKTION

De flesta projektioner som vi anv�nder �r ej perspektiviska, avbildningen sker p� ett mer komplicerat s�tt, den kan beskrivas allm�nt som en matematisk funktion:

(phi) = geodetisk latitud,

(lambda) = geodetisk longitud

och x , y �r plana koordinater i projektionsplanet.

I Sverige och en del andra l�nder �r konventionen att x-axeln i detta sammanhang �r riktad mot norr och y-axeln mot �ster. Allts� omv�nt mot skolboksgeometrin d�r y-axeln �r riktad upp�t och x-axeln �t h�ger. I m�nga andra l�nder �r dock konventionen den omv�nda, t.ex. i anglosaxiska l�nder d�r x brukar kallas f�r 'Northing' och y f�r 'Easting'.

1.5 VIKTIGA EGENSKAPER

Formlerna f�r projektionen h�rleds allm�nt ur vissa villkor som s�tts p� avbildningsfunktionen. De viktigaste egenskaperna �r:

Konform (vinkelriktig eller formbevarande), inneb�r att en infinitesimalt (o�ndligt) liten figur avbildas utan formf�r�ndring, och att f�rstoringen i en punkt �r lika stor i alla riktningar. Vinkelriktighet kan ej kombineras med ytriktighet.

Ytriktig, ytan hos en figur p� klotytan avbildas i kartplanet p� en figur med lika stor yta. Ytriktighet kan ej kombineras med vinkelriktighet.

L�ngdriktig, denna egenskap kan ej g�lla allm�nt, utan endast l�ngs vissa linjer, t.ex. l�ngs medelmeridianen eller en parallellcirkel.

I geodetiska sammanhang anv�nds normalt konforma (vinkelriktiga) projektioner, alltid fr�n en ellipsoidisk jordmodell. En egenskap som �r av s�rskilt intresse hos konforma projektioner �r meridiankonvergensen

1.6 TISSOTS INDIKATRIS

Den s� kallade indikatrisen, eller Tissots indikatris, karakt�riserar egenskaperna f�r en projektion. Det �r den ellips som uppkommer vid projektionens avbildning av en elementarcirkel p� klotytan.
(Elementarcirkel = infinitesimal el. f�rsvinnande liten cirkel).

Vid normala projektioner blir indikatrisens axlar f�rlagda l�ngs meridianen och parallellen genom den avbildade punkten. Om elementarcirkelns radie v�ljs till = 1, s� blir f�rstoringarna h och k utefter meridian och parallell, i det normala fallet lika med halvaxlarnas l�ngder i indikatrisen.

Ur indikatrisens egenskaper kan olika typer av projektioner identifieras:

om h = k �r projektionen konform (vinkelriktig).
om h x k = 1 �r projektionen ytriktig.
om h = 1 ( k = 1 ) �r projektionen l�ngdriktig utefter meridianen ( parallellen ).

Indikatrisen ger ocks� information om projektionens vinkelf�rvridning i punkten.
Maximala beloppet w f�s ur formeln:

SIN (w) = | (k - h) / (k + h) |

1.7 PROJEKTIONSPARAMETRAR

Vid specifikation av en projektion, anges f�rutom den allm�nna typen, t.ex. 'Gauss-Kr�ger', ett antal parametrar.

Jordellipsoidens parametrar m�ste alltid anges, men impliceras ofta indirekt av det geodetiska datum eller referenssystem som anv�nds.

De �vriga parametrar som brukar f�rekomma �r:

Medelmeridian ( eng. 'Central Meridian' ), mittmeridian som normalt avbildas som en vertikal r�t linje, och utg�r symmetriaxel, och det plana systemets naturliga x-axel.
Longituden (grad min sek) f�r medelmeridianen anges, vanligen relativt internationella nollmeridianen i Greenwich.
Standardparalleller ( eng. 'Standard Parallel' ), anges f�r normala projektioner, och �r parallellcirklar som avbildas skalenligt.
En projektion kan ha en eller tv� standardparalleller. Latituden f�r dessa anges.
Skalreduktionsfaktor ( eng. 'Scale Factor' eller 'Scale on Central Meridian' ), ett tal, mindre �n el. lika med 1, som appliceras p� koordinaterna f�r att omf�rdela skalfelet i projektionen.
Till exempel i UTM anv�nds skalreduktionsfaktorn 0.9996.
Tangeringspunktens latitud, centrumpunkt f�r azimutala projektioner. Latituden anges.

Ett antal parametrar anv�nds f�r att mer eller mindre godtyckligt omdefiniera projektionssystemets origo:

x₀ ( eng. 'False Northing' ), x-till�gg ( �ven negativa v�rden, f�r avdrag ).
y₀ ( eng. 'False Easting' ), y-till�gg ( �ven negativa v�rden, f�r avdrag ).
De f�ljande anv�nds normalt ej i Sverige
Latitud f�r origo ( eng. 'Latitude of Origin' ). H�r anges att det plana systemets origo ska f�rl�ggas p� en viss latitud.
Longitud f�r origo ( eng. 'Longitude of Origin' ). H�r anges att det plana systemets origo ska f�rl�ggas p� en viss longitud. �r normalt = medelmeridianens longitud

2 �versikt �ver n�gra vanliga kartprojektioner

K = konform L = delvis l�ngdriktig Y = ytriktig , P = perspektivisk
Klicka p� kartbild f�r beskrivning.

	Gauss-Kr�ger (Transversal Mercator) den vanligaste projektionen i Sverige.	K
	Lamberts koniska konforma tidigare allm�nt anv�nd �ven i Sverige.	K
	Normal Mercator vanlig p� sj�kort och v�rldskartor.	K
	Stereografisk vanlig vid avbildning av polaromr�den m.m.	K P
	Aitoffs v�rldskartor.
	Albers ytriktiga koniska �versikter i atlaser etc.	Y
	Azimutal mittavst�ndsriktig �versikter i atlaser etc.	L
	Bonnes �versikter i atlaser etc.	Y
	Cassinis tidigare anv�nd i bl.a England f�r topografiska kartor.	L
	Central perspektivisk cylinderprojektion projektion som egentligen inte anv�nds.	P
	Eckerts 6 projektioner f�r v�rldskartor, h�lften ytriktiga.	( Y )
	Galls (stereografiska) v�rldskartor.	P
	Globular f�r avbildning av halvklot.
	Gnomonisk en gammal projektion med ovanlig egenskap.	P
	Hammers planisf�r v�rldskartor.	Y
	Hammer-Wagners v�rldskartor.	Y
	Lamberts ytriktiga azimutala �versikter i atlaser etc.	Y
	Lamberts ytriktiga cylindriska	Y P
	Lamberts ytriktiga koniska	Y
	Millers cylindriska v�rldskartor.
	Mollweides v�rldskartor.	Y
	Ortografisk anv�nds mest i illustrationssyfte.	P
	Peters v�rldskarta, var avsedd att v�cka debatt.	Y
	Plattkarta, kvadratisk den i s�rklass enklaste projektionen!	L
	Plattkarta, rektangul�r enkel projektion som anv�nts f�r v�rldskartor.	L
	Polykonisk
	Robinsons v�rldskartor, tematiska kartor, konstrueras fr�n tabellv�rden.
	Sinusoidal (Sanson-Flamsteeds)	Y
	Van der Grintens v�rldskartor.
	Werners	Y
	William-Olssons en svensk projektion f�r v�rldskartor.	Y
	Winkel Tripel v�rldskartor.